Геометрическое представление векторов: от физических векторов к плоским векторам

В физике мы часто сталкиваемся с такими величинами, как перемещение, сила, скорость. Они обладают не только величиной, но и направлением. В математике величины, обладающие как величиной, так и направлением, называютсявекторами (vector), а величины, имеющие только величину, но не направление (например, масса, время, длина), называютсяскалярами(в физике их называют скалярами).

Геометрическое представление векторов и основные понятия

Чтобы наглядно изучать векторы, мы используем направленные отрезки, то естьнаправленные отрезки (directed line segment) для их представления. Направленный отрезок имеет три элемента: начальная точка, направление и длина.

Длина вектора: величина вектора $\vec{AB}$ называется длиной вектора (или модулем) и обозначается как $|\vec{AB}|$.
Особые векторы: вектор, длина которого равна 0, называетсянулевым вектором (zero vector), обозначается как $\mathbf{0}$; вектор, длина которого равна одной единице, называетсяединичным вектором (unit vector).
Отношение положения: векторы, которые имеют одинаковое или противоположное направление (не нулевые), называютсяпараллельными векторами (parallel vectors), также называютсяколлинеарными векторами (collinear vectors). По определению: $\mathbf{0}$ параллелен любому вектору.

Ключевая особенность вектора — «освобождение от привязки к положению». Если длины равны и направления совпадают, независимо от начальной точки, они являютсяравными векторами.

$$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} \iff |\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| \text{ и одинаковое направление}$$

ВОПРОС 1

В физике векторы часто называют векторами, а скалярные величины — скалярами. Какие из следующих величин являются векторами?

натяжение подвеса, сила трения, ускорение

давление, частота, масса

температура, высота над уровнем моря, плотность

работа, мощность, кинетическая энергия

ВОПРОС 2

Какое из следующих утверждений о нулевом векторе верно?

Нулевой вектор не имеет направления

Длина нулевого вектора равна 0, а его направление произвольно

Нулевой вектор не параллелен никакому вектору

Все единичные векторы равны

ВОПРОС 3

Определите, верны ли следующие утверждения: (1) Если $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$, то $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$; (2) Вектор, направленный на юго-запад под углом $60^{\circ}$, и вектор, направленный на северо-восток под углом $60^{\circ}$, являются коллинеарными.

(1) Ошибка, (2) Верно

(1) Верно, (2) Ошибка

Оба верны

Оба неверны

ВОПРОС 4

Известно, что $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ — единичные векторы. Какое из следующих утверждений верно?

$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$

$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$

$\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$

$|\boldsymbol{a}|^2 = \boldsymbol{b}$

ВОПРОС 5

В прямоугольнике $ABCD$ стороны $AB = 2$, $BC = 1$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Сколько векторов, начинающихся и заканчивающихся в точках $A, B, C, D, M, N$, равны $\vec{AM}$?

ВОПРОС 6

Пример 1: Масштаб карты 1:8 000 000. Если длина направленного отрезка от точки $A$ до $B$ на карте составляет 2 см, то фактическое перемещение составляет:

16 км

160 км

80 км

1600 км

ВОПРОС 7

Если два вектора $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ удовлетворяют условию $\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b}$, то:

их конечные точки обязательно лежат на одной прямой

они обязательно направлены в одну сторону

их направления одинаковы или противоположны

их длины обязательно равны

ВОПРОС 8

Укажите длину каждого вектора на рисунке. (сторона малого квадрата — 0,5). Если вектор $\vec{v}$ пересекает 4 квадрата (по горизонтали), то его модуль равен:

0.5

ВОПРОС 9

Определите: является ли ось $x$ в декартовой системе координат вектором?

Да, потому что у него есть направление

Нет, потому что у него есть только направление, но нет определённой длины (это прямая)

Вызов: векторная сеть в правильном шестиугольнике

Глубокое понимание равных и коллинеарных векторов

На рисунке 6.1-8 точка $O$ — центр правильного шестиугольника $ABCDEF$. Известно, что сторона шестиугольника равна 1 единице.

1. Запишите векторы, равные $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$, на рисунке.

Решение:
Из геометрической симметрии правильного шестиугольника следует, что отрезки от центра $O$ к вершинам делят шестиугольник на 6 равных правильных треугольников.
- Векторы, равные $\vec{OA}$: их модуль равен 1, направление — от $O$ к $A$. Анализируя параллельные отрезки на рисунке: $\vec{DO}, \vec{CB}, \vec{EF}$ имеют одинаковую длину и направление. Следовательно, это $\vec{DO}, \vec{CB}, \vec{EF}$.
- Векторы, равные $\vec{OB}$: аналогично получаем $\vec{EO}, \vec{DC}, \vec{FA}$.
- Векторы, равные $\vec{OC}$: аналогично получаем $\vec{FO}, \vec{ED}, \vec{AB}$.

2. Запишите все векторы, коллинеарные $\vec{AB}$, на рисунке.

Решение:
Коллинеарные векторы — это параллельные векторы, направление которых может быть одинаковым или противоположным. Отрезки, параллельные $AB$, — диагональ $FC$ и сторона $ED$.
Следовательно, коллинеарные векторы включают:$\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{OC}, \vec{CO}, \vec{FO}, \vec{OF}, \vec{FC}, \vec{CF}, \vec{ED}, \vec{DE}$.

✨ Ключевые моменты

Имеет величину,И направление,Следовательно,направленный отрезок,превращает в название.параллельные и коллинеарные,движутся вместеСледовательно,модуль равен единице,единичная величина!

💡 Два способа обозначения векторов

В печати обычно используют жирные строчные буквы $\mathbf{a}, \mathbf{b}$, а при рукописной записи или решении задач обязательно ставьте стрелку над буквой $\vec{a}$.

💡 Порядок начала и конца

При обозначении направленного отрезка начальная точка всегда должна быть записана перед конечной. Например, $\vec{AB}$ означает от $A$ к $B$, а $\vec{BA}$ — от $B$ к $A$, и это два разных вектора.

💡 Равенство векторов против равенства чисел

Равенство векторов включает как равные величины, так и одинаковое направление. $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ — это лишь числовое равенство, которое не позволяет сделать вывод, что $\vec{a} = \vec{b}$.

💡 Свойство свободного перемещения

В математике векторы обычно называются «свободными векторами», то есть они могут быть произвольно перемещены в плоскости без изменения направления и величины. Это означает, что коллинеарные векторы не обязательно должны лежать на одной прямой.

💡 Особое правило для коллинеарных векторов

Не забывайте нулевой вектор $\mathbf{0}$! Он — «социальный гений» среди векторов, по определению параллельный любому вектору (коллинеарный).